좋은 질문입니다. 동명사, 분사 라는 것은 혼자서 결정하는 것이 아니라 주변의 다른 말들과의 관계속에서 파악하는 것입니다. 한국어에서 [ 나는 가족을 부양하면서 바쁘다, 나는 가족을 부양하느라 바쁘다 ] [ 나는 가족을 부양하는 것에 있어서 바쁘다 ] 이런 문장을 보면 최종적 의미는 동일하지만 두번째 문장에서는 '가족을 부양하는 것에 있어서' 라는 표현을 썼고 거기서는 '-하는 것에 있어서' 라는 역할소 즉 품사가 개입되어 있습니다. 이것을 영어에서는 전치사라고 부릅니다. 전치사라는 말은 어떤 말의 앞에 놓이는 말이라는 의미로서 앞전 둘치 말씀사 가 합쳐진 것입니다. 전치사는 어떤 말의 앞에 놓이므로 반드시 그 뒤에 어떤 말이 온다는 것을 전제로 합니다. 그 뒤에 오는 말은 문법적으로는 목적어라고 부릅니다. 그래서 이런 구조는 전치사 + 목적어로 파악합니다. 전치사의 목적어로는 명사, 대명사, 동명사, 그리고 wh-가 이끄는 명사상당어가 올 수 있습니다.

이것을 영어로 옮기면 I am busy with supporting my family 혹은 I am busy in supporting my family 가 됩니다. 전치사 in 혹은 with 가 들어가 있으므로 뒤에 오는 것은 전치사의 목적어에 해당되고 따라서 동명사가 됩니다.
그런데 처음 문장인 [나는 -하느라 바쁘다, -하면서 바쁘다 ] 는 하느라, 하면서 라는 말이 붙어있고 이것은 전치사가 사용된것이 아니라 분사가 사용된 표현입니다. 물론 행위를 진행하는것이므로 현재분사가 됩니다. 의미는 같지만 전치사라는 역할소가 없기 때문에 뒤에 ing 도 목적어가 될 수 없습니다. 그래서 세밀한 번역을 전제로 할 때는 전치사가 없으면 -하느라, -하면서로 해야 번역적 타당성에 있어서 훌륭한 근거가 되는 것입니다. 대부분의 사람들은 문법설명을 할 때, 그냥 기존의 통념을 답습합니다. 왜 그런지도 모르고 말이죠. 마치 아리스토텔레스가 '무게가 다른 두 개의 물체는 낙하할 때 무거운 것이 먼저 떨어진다'라고 던진 그럴듯한 명제가 실험없이 천년이 넘는 세월동안 물리학의 기본법칙을 무시하고 진실로 군림한 것과 비슷합니다. 갈릴레오는 피사의 사탑에서 표면적과 부피등이 질량과 동일한 비율을 가진 두 개의 추로 이를 반박하는 증명을 했습니다. 그제서야 사람들은 오랜 세월의 미몽에서 벗어나는 것입니다. 후회로 혹은 짧은 한마디 감탄사로 말이지요. 훌륭한 사람이 되시고 이런 탐구자세로 공부하시기 바랍니다. 언제나 진리는 외로움과 벗이랍니다.